一、前言
大学的数学教材大多是枯燥的纯粹理论性的阐述公理公式，但是缺乏对"怎么来的、为什么要这么写、怎么应用"这些问题的回答，笔者在大学毕业多年以后偶然需要用到这些知识时，却始终无法将这些理论公式和实际工作关联起来，因此决定开展重启数学系列文章，从实际应用的角度重新学习工程当中所涉及的数学知识，本篇开始讨论泰勒展开式的相关内容。
二、推导过程
2.1 背景
实际工程中我们面对的问题大多是复杂和难以计算的，因此需要有一种数学工具去简化这种计算。在 1715 年，英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）在他的著作中提出了这个展开方法。他的思路正是：
如果一个函数足够光滑（无限可导），我们能否构造一个幂级数（即多项式），让它在某一点 $x=a$ 处与原函数的函数值、一阶导、二阶导……直到任意阶导数都相等？
这其实是说如果原函数是难以计算的，那么我们能否使用易于计算的多项式去逼近原函数进而求解呢？因此就要求多项式在$x=a$处匹配原函数的各阶导数，这是为了使这个多项式在$a$点附近尽可能"像"原函数——不仅仅值相等，连变化趋势、弯曲方式都一致，这样的多项式就可以成为原函数的一个高精度的局部近似，或说两个函数在$x=a$处附近贴的很紧。如下表所示：
| 阶数 | 导数 | 意义 | 效果 |
|---|---|---|---|
| 0 | $f(a)$ | 函数值 | 两函数在$x=a$处相交 |
| 1 | ${f}’(a)$ | 斜率 | 两函数在$x=a$处相切 |
| 2 | ${f}’’(a)$ | 弯曲程度(凹凸性) | 曲线弯曲方式一致 |
| 3 | ${f}^{(3)} (a)$ | 弯曲的变化率 | 更精细的贴合”扭曲”趋势 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | 越来越精细的”函数纹理 “ |
| $\infty$ | 所有阶导数 | 局部行为完全一致 | 多项式成为函数的局部克隆 |
所有阶导数合在一起就像是给函数做了一次”CT扫描”，从最表层的斜率到最细微的”波动纹理”，泰勒展开就是利用这些”扫描数据”，在局部重建了一个数学上的”克隆体”。
2.2 构造推导
假设存在这样的多项式，因此函数$f(x)$可以使用一个关于$(x-a)$的多项式表示为:
$$f(x)=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3}+\dots $$
现在任务是求出系数$c_{0},c_{1},c_{2}\dots$，那么逐次代入$x=a$并求导
第0次：代入$x=a$
$$f(a) = c_{0} \Rightarrow c_{0} = f(a)$$第1次：对两边求导，再代入$x=a$
$${f}’(x) = c_{1}+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^{2}+ \dots \Rightarrow {f}’(a) = c_{1} \Rightarrow c_{1} = {f}’(a)$$
- 第2次：再次求导，再代入$x=a$
$${f}’’(x) = 2c_{2}+6c_{3}(x-a)+ \dots \Rightarrow {f}’’(a) = 2c_{2} \Rightarrow c_{2} = \frac{f’’(x)}{2}$$
- 第3次：再次求导，再代入$x=a$
$$f^{(3)}(x) = 6c_{3}+ \dots \Rightarrow f^{(3)}(a) = 6c_{3} \Rightarrow c_{3} = \frac{f^{(3)}(a)}{6}$$
注意到：2 = 2! , 6 = 3! , ...，所以一般地：
$$c_{n} = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$
这样代入多项式可得：
$$f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+\frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^{3}+\dots= \sum_{n=0 }^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$
2.3 拉格朗日余项
如$\sin(x),e^{x}$之类的函数的泰勒级数是无限项的，因此当截断到$n$项时，必然存在误差，我们引入余项的概念来对误差的做精确的表达和估计。那么严谨的泰勒展开式可以表述为：
$$f(x) = P_{n}(x) + R_{n}(x) = \sum_{n=0 }^{\infty}\frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^{n} + R_{n}(x)$$
其中$R_{n}(x)$即为拉格朗日余项。那这个余项的表达式是怎么来的呢？
从直觉上来说，当我们使用$n$阶多项式去逼近函数，其实忽略了更高阶的变化；这部分被忽略的部分主要由第$n+1$阶导数控制，即：
$$\frac{f^{(n+1)(a)}}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
但问题是这个项用的是$f^{(n+1)}(a)$，也就是在$a$点的导数，而现实中，$f^{(n+1)}(x)$可能在区间$[a,x]$上时变化的，不一定等于$f^{(n+1)}(a)$，因此在$[a,x]$中选取一个中间点$\xi$使得：
$$真实误差=\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
这样$f^{(n+1)}(\xi)$就代表了整个区间上第$n+1$阶导数的整体误差。当然我们也可以用严密的数学推论证明：
步骤一：定义误差函数
$$R_{n}(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}$$
步骤二：构造辅助函数
考虑一个辅助函数$F(t)$，定义在$[a,x]$上：
$$F(t) = f(x) - [f(t)+f’(t)(x-t)+\frac{f’’(t)}{2!}(x-t)^2+\dots +\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n ]$$
这个$F(t)$表示是以$t$为展开点，用$n$阶泰勒多项式去逼近$f(x)$时的误差。
特别的：
- 当$t=a$时，$F(a)=R_{n}(x)$，这是我们要求的余项
- 当$t=x$时，$F(x)=f(x)-f(x)=0$
步骤三：构造辅助函数
为了使用柯西中值定理，引入另一个函数：
$$G(t) = (x-t)^{n+1}$$
则$G(t)$在$[a,x]$上的值域为$[(x-a)^{n+1},0]$
步骤四：构造满足罗尔定理条件的函数
由上可知$F(t)$不满足$F(a)=F(x)$，所以构建一个新函数$H(x)$，使得在区间$[a,x]$的两侧都为0，令：
$$H(t) = F(t) - \frac{F(a)}{G(a)}G(t)$$
则有：
- $H(x)=F(x)-\frac{F(a)}{G(a)}G(x) = 0-C \cdot 0 = 0$
- $H(a)=F(a)-\frac{F(a)}{G(a)}G(a) = F(a)- F(a) = 0$
这样满足$H(a) = H(X) =0$，且$H(x)$在$(a,x)$区间内连续且可导，则根据罗尔定理存在$\xi \in (a,x)$，使得：
$$H’(\xi) = 0$$
步骤五：计算导数并化简$
计算$H’(\xi) = F’(t) - \frac{F(a)}{G(a)}G’(t)$，令 $H’(\xi)=0$，代入$F’(t)$和$G’(t)$的表达式最终解出$F(a)=R_{n}(x)$，得到：
$$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
那么泰勒展开式的拉格朗日余项的表现形式为:
$$f(x) = \sum_{n=0 }^{\infty}\frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^{n} + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
举个具体的例子：$f(x)=e^{x}$，在$a=0$处展开，我们知道：
$$e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\dots$$
用前两项近似：$e^{x} \approx 1+x$，真实误差是：
$$R_{1}(x) = e^{x} - (1+x)$$
余项估计表达式：
$$\frac{f’’(\xi)}{2!}x^{2} = \frac{e^{\xi}}{2}x^{2},\xi \in (0,x)$$
我们验证一下，取$x = 0.1$：
- 真实误差：$e^{0.1} - (1+0.1) \approx 0.00517$
- 余项估计：误差 $\in (0,005,0.005525)$
显然真实误差在余项估计的范围内！
2.4 皮亚诺余项
皮亚诺余项描述的是泰勒展开在趋近于展开点时的误差行为，其形式为：
$$R_{n}(x) = o((x-a)^{n}), 当x \to a$$
读作：”余项是$(x-a)^{n}$的高阶无穷小”。
在前面我们将误差定义为：
$$R_{n}(x) = f(x)-P_{n}(x)$$
我们希望$P_{n}(x)$在$x \to a$时尽可能的逼近$f(x)$，一个自然的要求是误差$R_{n}(x)$足够的小，即
$f(x) - P_{n}(x)$ 应该比$(x-a)^{n}$小得多
换句话说：
$$\lim_{x \to a}\frac{f(x)-P_{n}(x)}{(x-a)^{n}} = 0 $$
这正是$R_{n}(x)=o((x-a)^{n})$的定义！虽然这看起来好像什么也没有说，没有以量化的方式告诉你误差具体有多大，但它的意义是非常重要的，如下：
1、它是"泰勒多项式足够好"的数学证明
我们凭什么说$n$阶泰勒多项式$P_{n}(x)$是一个”好”的近似呢？因为$f(x)-P_{n}(x)$比$(x-a)^{n}还小1$，这就像你说一个很瘦，我说”他比最瘦的模特还瘦”——这就说明他真的很瘦。
同理:
- $P_{n}(x)$包含了$(x-a)^{0},(x-a)^{1},\dots ,(x-a)^{n}$的信息；
- 如果误差比$(x-a)^{n}$还小，说明$P_{n}(x)$已经”榨干”了所有低阶信息；
- 剩下的差异只能是更高级的”细节”，可以忽略
所以皮亚诺余项告诉我们：
你用$n$阶多项式去逼近，已经做到了在$a$点附近”尽可能好了”
2、它是"函数光滑性"的量化表达
皮亚诺余项的成立，只需要$f(x)$在$a$点有$n$阶导数——不要求导数连续，也不要求更高阶导数存在。比如有些函数在$a$点有$n$阶导数，但”行为”很怪(震荡，不光滑),拉格朗日余项就无法使用(要求区间上存在$n+1$阶导数)，但皮亚诺余项仍然成立！
所以它告诉我们：
只要函数在这一点上足够光滑(有$n$阶导数)，就能使用$n$阶多项式很好的局部逼近
3、它是极限计算和等价无穷小的基础
例如计算如下极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1 + \frac{x^{2}}{2} }{x^{4}} $$
我们知道:
$$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}+o(x^{4})$$
则有：
$$\cos x -1 + \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{24}+o(x^{4})$$
代入极限：
$$\frac{\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4})}{x^{4}} = \frac{1}{24} + \frac{o(x^{4})}{x^{4}} \to \frac{1}{24}$$
如果没有皮亚诺余项，我们就不能写出$o(x^{4})$，也就不能这样拆解极限！
2.5 两种余项对比
| 对比维度 | 皮亚诺余项 | 拉格朗日余项 |
|---|---|---|
| 形式 | $R_{n}(x) = o((x-a)^{n})$ | $R_{n}(x) = \frac{f^{（n+1）}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ |
| 读作 | “误差是$(x-a)^{n}$的高阶无穷小” | “误差等于下一项，导数取中间值$\xi \in (a,x)$” |
| 关键词 | 极限行为、局部、消失得更快 | 具体大小、全局、误差估计 |
| 目的 | 描述误差在$x \to a$时的极限行为 | 给出误差的具体大小估计 |
| 精度 | 定性：只说”误差很小” | 定量：给出误差的表达式 |
| 适用范围 | 仅在$a$点附近（局部） | 在整个区间$[a,x]$有效(全局) |
| 所需条件 | $f(x)$在$a$点有$n$阶导数 | $f(x)$在$[a,x]$上有$n+1$阶导数且连续 |
| 是否依赖中间点 | 否 | 是 $\xi \in (a,x)$ |
| 能否用于误差估计 | 不能(只知道”很小”) | 能，可以计算上下界 |
| 能否用于极限计算 | 能(支持等价无穷小) | 可以但复杂，不常用 |
| 推导方法 | 洛必达法则或极限定义 | 罗尔定理或柯西中值定理 |