一、简谐波
事实上，按照波形可以划分多种类型的波，比如：方波、三角波、锯齿波、脉冲波等，但有一种波比较特殊，这就是简谐波，或者称为正弦波/余弦波。这是因为：
简谐波是最简单，最基础的波，并且根据傅里叶定理，任何周期性的波形，都可以表示为一些不同频率、振幅和相位的简谐波的叠加
而简谐振动是简谐波的”源头”和”基础”，为什么这么说呢？
1. ✅ 波是由振动产生的
- 没有振动，就没有波
- 简谐波的“源头”就是一个做简谐振动的物体（波源）
- 比如：音叉振动 → 产生声波
- 手抖动绳子一端 → 产生绳上的横波
🔊 波的本质是：振动状态在空间中的传播
2. ✅ 波中的每个质点都在做简谐振动
当你看到一个简谐波在传播时：
- 看似是“波形”在移动，实际上，介质中的每一个小部分（质点）都在原地做简谐振动
- 只是它们的振动有时间差（相位差），看起来像波在动
📌 简谐波 = 无数个简谐振动 + 相位延迟
1.1 简谐振动
一句话定义简谐振动为：
简谐振动是一种物体在“回复力与位移成正比、方向相反”的力作用下，围绕平衡位置做周期性往复运动。比如弹簧振子、单摆等
在初始位置即$x=0$处的简谐振动的描述方程如下:
$$y(0,t) = A\sin(\omega t + \phi _{0})$$
- 横轴表示为 时间
- 纵轴表示为 位移
- 图像是一条随时间上下震荡的曲线，描述
一个点的运动
上面所说的波是振动状态的传递，这个振动状态不会瞬间传递到远处，而是以波速v向远处传递，这样：
在
位置x处的点，要等到时间 $t=\frac{x}{v}$ 之后，才能收到波源在更早时刻 $t-\frac{x}{v}$ 发出的振动状态
因此在位置 $x$、时间 $t$ 的位移，等于波源(x=0)在时间 $t-\frac{x}{v}$ 的位移：
$$y(x,t)=y(0,t-\frac{x}{v})=A\sin(\omega(t-\frac{x}{v})+\phi _{0})$$
整理得：
$$y(x,t)=A\sin(\omega t -\frac{\omega}{v}x + \phi _{0})$$
1.2 角频率、频率与波长
👉 相关定义
| 名称 | 定义 | 单位 | 关系 |
|---|---|---|---|
| 波长$\lambda$ | 一个周期在空间中的长度 | m | |
| 频率$f$ | 单位时间内完成多少个周期 | Hz，即周期/秒 | |
| 角频率$\omega$ | 单位时间内包含的相位（弧度）数 | 弧度/秒（rad/s） | $\omega = 2\pi f$ |
| 波速$v$ | 波在单位时间内前进的距离 | m/s | $v = \lambda \cdot f$ |
| 波数$k$ | 单位长度内包含的相位（弧度）数，或者说“空间频率” | 弧度/米（rad/m） | $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ |
这样则有：
$$\frac{\omega}{v} = \frac{2\pi f}{v} = \frac{2\pi f}{\lambda f} = \frac{2 \pi}{\lambda} = k$$
这样上面推导的波的描述方程可以改写为：
$$y(x,t)=A\sin(\omega t -\frac{\omega}{v}x + \phi _{0}) \Rightarrow y(x,t)=A\sin(\omega t -kx + \phi _{0})$$
通常工程上把空间项放在前面，把时间项写在后面，并根据传播方向调整符号：
- $kx-\omega t$：表示波沿着
x 正方向传播 - $kx+\omega t$：表示波沿着
x 负方向传播
所以，沿 x 正方向传播的波写为：
$$y(x,t)=A\sin(kx - \omega t + \phi _{0})$$
1.3 波的分类
| 维度 | 类型 | 产生方式 | 实例 |
|---|---|---|---|
| 介质需求 | 机械波 | 由介质中的质点振动产生， 振动通过粒子间的相互 作用力在介质中传播 |
声波、水波、地震波 |
| 电磁波 | 由加速运动的电荷产生，变化的电场 产生磁场，变化的磁场又产生电场，如此交替传播 |
无线电波、微波、红外线、 可见光、紫外线、X射线、伽马射线 |
|
| 传播方向 | 横波 | 介质质点（或场）的振动方向垂直于波的传播方向 | 电磁波、绳子上的波、地震波中的S波(横波) |
| 纵波 | 介质质点的振动方向平行于波的传播方向，形成疏密相间的区域 | 声波(空气/液体中)、弹簧上的疏密波、地震波中的P波 | |
| 波形 | 脉冲波 | 一次短暂的扰动或单个振动周期产生的波 | 拍手产生的声波脉冲、投石入水产生的单个水波圈 |
| 连续波 | 持续、有规律的振动产生的波，具有固定的频率和波长 | 激光、广播电台发射的载波 |
二、多普勒频移
多普勒效应的本质是：源和观察者之间的相对运动，改变了波的“到达节奏”，表象为接收到的频率和波源的频率不同：
- 如果两者
靠近，波被“压缩”，接收到的频率升高 - 如果两者
远离，波被“拉伸”，接收到的频率降低
👉 直观理解
假设你的朋友站在远处以恒定的速度和恒定的频率向你扔小球，你每秒能接到一个小球，在某个时刻，你的朋友朝你走了过来，这个时候虽然扔球的速度和频率不变，但是你们两个的距离变小了，这就意味着可能0.5秒你就能接到一个小球！
我们假设波源以恒定速度v向观察者靠近，那么经过$\bigtriangleup t$秒内，波源与观察者的距离减少了$v\bigtriangleup t$的距离，那么取1秒时，总路程减少的距离为 v，这相当于每秒多接收了$\frac{v}{\lambda}$个波峰，这个每秒多出的波峰数，就是频率的增加量，也就是多普勒频移：
$$f_{d} = \frac{v}{\lambda}$$
当然如果波源不是正对着观察者运动，而是有一个夹角$\beta$，那么只有速度在观察者视线方向的分量才会影响距离变化，此时公式为：
$$f_{d} = \frac{v \cos \beta}{\lambda}$$
👉 公式推导
假设有两个波峰，目标移动速度为$v_{r}$，其中$v_{r}>0$表示目标远离波源，$v_{r}<0$表示靠近波源，则有
1. 第一个波峰：
- 发射时间：t = 0
- 目标距离：d
- 传播时间：$\frac{d}{c}$
- 到达目标时间：$t_{1} = \frac{d}{c}$
2. 第二个波峰：
- 发射时间：$t = T_{0}$
- 在$T_{0}$时间内，目标移动了$v_{r}T_{0}$(径向分量)
- 所以当第二个波峰发射时，目标距离波源为$d+v_{r}T_{0}$
- 传播时间：$\frac{d+v_{r}T_{0}}{c}$
- 到达目标时间：$t_{2} = T_{0}+\frac{d+v_{r}T_{0}}{c}$
3. 目标感知周期：
目标接收到的两个波峰之间的时间间隔为：
$$T_{r} = t_{2}-t_{1} = (T_{0}+\frac{d+v_{r}T_{0}}{c})-\frac{d}{c} = T_{0}(1+\frac{v_{r}}{c})$$
4. 目标接收到的频率：
$$f_{r} = \frac{1}{T_{r}} = f_{0} \cdot \frac{1}{1+\frac{v_{r}}{c}}$$
5. 近似处理：
当$v_{r} << c$时，根据近似：
$$\frac{1}{1+x} \approx 1-x$$
可得：
$$f_{r} =f_{0}(1-\frac{v_{r}}{c})$$
6. 多普勒频移：
$$f_{d} = f_{r} -f_{0} = f_{0}(1-\frac{v_{r}}{c}) -f_{0} = -f_{0} \cdot \frac{v_{r}}{c}$$
代入$f_{0}=\frac{c}{\lambda}$：
$$f_{d} = -\frac{v_{r}}{\lambda} = -\frac{v}{\lambda} \cos \beta$$
注意，多普勒频移公式在某些教材上没有带有负号，这并不奇怪，它仅仅取决于如何定义“正方向”和“相对速度$v_{r}$”的符号约定